Question

【題目】已知橢圓C:的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線， 的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿足斜率之積為定值.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓離心率可知，點(diǎn)在橢圓上，將代入橢圓方程，再結(jié)合，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)利用解的性質(zhì)可以得，，，可以確定當(dāng)為定值時(shí)，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，確定直線方程，進(jìn)行判斷，即可得到圓的方程.

試題解析：（1）解：由題意，得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

， 解得， 所以橢圓的方程為.

（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為.證明如下：

假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.

由方程組 得，

因?yàn)橹本�與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，即.

由方程組 得，

則.

設(shè)，則，

設(shè)直線 的斜率分別為，所以.

，

將代入上式，得.

要使得為定值，則，即，驗(yàn)證符合題意.

所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿足為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為，

此時(shí)，圓與的交點(diǎn)也滿足.

綜上，當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿足斜率之積為定值.