Question

8．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB₁⊥BC₁，則下列關(guān)于直線A₁C和AB₁，BC₁的關(guān)系的判斷正確的為（　�。�

• A． A₁C和AB₁，BC₁都垂直
• B． A₁C和AB₁垂直，和BC₁不垂直
• C． A₁C和AB₁，BC₁都不垂直
• D． A₁C和AB₁不垂直，和BC₁垂直

Answer 1

分析 設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD、B₁D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE、A₁E，由射影定理、三垂線定理、三垂線逆定理能推導(dǎo)出A₁C和AB₁，BC₁都垂直．

解答 解：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD、B₁D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE、A₁E，
∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，
由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
又平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∴B₁D是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影，
同理，A₁E是A₁C在平面AA₁B₁B上的射影，
∵AB₁⊥BC₁，由三垂線逆定理可知，B₁D⊥BC₁，
∵長(zhǎng)方形AA₁B₁B≌長(zhǎng)方形BB₁C₁，∴A₁E⊥AB₁，由三垂線定理可知，AB₁⊥A₁C；
取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF、C₁F，
∵△ABC是等邊三角形，∴BF⊥AC，∵AA₁⊥平面ABC，∴BF⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴BF⊥平面ACC₁A₁，∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴BF⊥A₁C，
∵長(zhǎng)方形AA₁B₁B≌長(zhǎng)方形BB₁C₁≌長(zhǎng)方形AA₁C₁C，∴A₁C⊥C₁F，由三垂線定理可知，BC₁⊥A₁C．
∴A₁C和AB₁，BC₁都垂直．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意射影定理、三垂線定理、三垂線逆定理的合理運(yùn)用．