Question

16．在△ABC中，若sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$
（1）判斷三角形的形狀；
（2）如果三角形面積為4，求三角形周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，整理后即可判斷△ABC的形狀；
（2）由（1）和三角形的面積列出方程，表示出三角形的邊和周長(zhǎng)，由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由題意得，sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$，
由正弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
由余弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
a（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+$\frac{^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）=b+c
a²b+c²b-b³+a²c+b²c-c³=2bc（b+c）
a²（b+c）-（b³+c³）=bc（b+c），
化簡(jiǎn)得，a²=b²+c²，
所以△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可得，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc=4$，
則bc=8，
∴a²=b²+c²，∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
△ABC的周長(zhǎng)L=a+b+c=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$+b+c，
≥$\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}$=4+4$\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
∴三角形周長(zhǎng)的最小值是4+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用：邊角互化，以及基本不等式，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．