Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R，則函數(shù)f（x）的最小值為-2，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．

Answer 1

分析 利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，可得函數(shù)的最小值，再由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求得x的范圍得到函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∴f（x）的最小值為-2；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
故答案為：-2；[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．