16.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并給予證明.

分析 (1)由函數(shù)f(x)=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù),f(-x)=-f(x)恒成立,可得a的值;
(2)f(x)在x∈R是增函數(shù),
證法一:任取x1,x2∈R,且x1<x2,作差判斷出f(x1)-f(x2)<0,結(jié)合單調(diào)性的定義,可得:函數(shù)f(x)在R是增函數(shù);
證法二:求導(dǎo),根據(jù)f′(x)>0恒成立,可得:函數(shù)f(x)在R是增函數(shù).

解答 解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)
即$\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x+1}}+a}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$,
即$\frac{{1-{2^x}}}{{2+a•{2^x}}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$
整理得:(2x-1)(a-2)=0對(duì)任意x∈R都成立,
∴a-2=0,
即a=2…(6分)
(2)此時(shí)$f(x)=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}•\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}(1-\frac{2}{{{2^x}+1}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$,
f(x)在x∈R是增函數(shù),理由如下:
證法一:任取x1,x2∈R,且x1<x2
$f({x_1})-f({x_2})=-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}+\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{({2^{x_1}}+1)({2^{x_2}}+1)}}$
∵x1<x2,且函數(shù)y=2x是增函數(shù),
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}$<0,$({2^{x_1}}+1)({2^{x_2}}+1)$>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
所以函數(shù)f(x)在R是增函數(shù).…(12分)
證法二:∵$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$,
∴$f′(x)=\frac{ln2•{2}^{x}}{{(2}^{x}+1)^{2}}$,
∵f′(x)>0恒成立,
所以函數(shù)f(x)在R是增函數(shù).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,難度中檔.

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