Question

8．寫(xiě)出下面各遞推公式表示的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（1）a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）；
（2）a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用“累乘求積”與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）由a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．利用“裂項(xiàng)求和”與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=2^n-1•2^n-2•…•2¹×1=2^{（n-1）+（n-2）+…+1}=${2}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=${2}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．
（2）∵a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
∴n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+1
=2-$\frac{1}{n}$，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=2-$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累乘求積”、“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．