Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC上一點，D₁為B₁C₁的中點，A₁B∥平面ADC₁．
（1）證明：A₁D₁∥平面ADC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等邊△ABC的面積為4

3

，求平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，進一步利用線面平行的判定定理得出線面平行．
（2）首先建立空間直角坐標系，求出各點對應的點的坐標，進一步求出向量的坐標，求出平面A₁AB與平面ADC₁的法向量，利用向量的夾角公式，求出平面夾角的大�。�

解答： （1）證明：連接A₁C交AC₁于點E，連接DE，
已知：D₁為B₁C₁的中點，A₁B∥平面ADC₁，
平面A₁BC與平面ADC₁交于DE，
則：A₁B∥DE，
則：D是BC的中點，
由于D₁為B₁C₁的中點，
所以：A₁D₁∥AD，A₁D₁?平面ADC₁
所以：A₁D₁∥平面ADC₁
（2）解：建立空間直角坐標系A-xyz，
由于：AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等邊△ABC的面積為4

3

，
解得：AB=BC=AC=4，
則：A（0，0，0），B（2

3

，-2，0），D（2

3

，0，0），A1(0，0，3)，C1(2

3

，2，3)
則：

AB

=(2

3

，-2，0)，

AA1

=(0，0，3)，

AD

=(2

3

，0，0)，

DC1

=(0，2，3)
設平面A₁AB的法向量為：

m

=(x，y，z)
所以：

m • AB =0 m • AA1 =0

解得：

m

=(1，

3

，0）
同理設平面ADC₁的法向量為：

n

=(x，y，z)
所以：

n • AD =0 n • DC1 =0

解得：

n

=(0，-3，2)
設平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角為θ
則：cosθ=|

m • n

| m || n |

|=

3 39

26

所以：平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角的余弦值為

3 39

26

．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定和性質(zhì)定理的應用，空間直角坐標系，法向量，二面角的應用．屬于中等題型．