Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC上一點(diǎn)，D₁為B₁C₁的中點(diǎn)，A₁B∥平面ADC₁．
（1）證明：A₁D₁∥平面ADC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等邊△ABC的面積為4

3

，求平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先利用線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得出線面平行．
（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo)，求出平面A₁AB與平面ADC₁的法向量，利用向量的夾角公式，求出平面夾角的大�。�

解答： （1）證明：連接A₁C交AC₁于點(diǎn)E，連接DE，
已知：D₁為B₁C₁的中點(diǎn)，A₁B∥平面ADC₁，
平面A₁BC與平面ADC₁交于DE，
則：A₁B∥DE，
則：D是BC的中點(diǎn)，
由于D₁為B₁C₁的中點(diǎn)，
所以：A₁D₁∥AD，A₁D₁?平面ADC₁
所以：A₁D₁∥平面ADC₁
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
由于：AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等邊△ABC的面積為4

3

，
解得：AB=BC=AC=4，
則：A（0，0，0），B（2

3

，-2，0），D（2

3

，0，0），A1(0，0，3)，C1(2

3

，2，3)
則：

AB

=(2

3

，-2，0)，

AA1

=(0，0，3)，

AD

=(2

3

，0，0)，

DC1

=(0，2，3)
設(shè)平面A₁AB的法向量為：

m

=(x，y，z)
所以：

m • AB =0 m • AA1 =0

解得：

m

=(1，

3

，0）
同理設(shè)平面ADC₁的法向量為：

n

=(x，y，z)
所以：

n • AD =0 n • DC1 =0

解得：

n

=(0，-3，2)
設(shè)平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角為θ
則：cosθ=|

m • n

| m || n |

|=

3 39

26

所以：平面A₁AB與平面ADC₁所成的銳二面角的余弦值為

3 39

26

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，法向量，二面角的應(yīng)用．屬于中等題型．