Question

（本小題滿分14分）數(shù)列滿足：；

（1）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充要條件是：；

（2）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

 

Answer 1

（1）見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因為數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列對任意的,恒有，即

數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列．（2）因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以由（1）知；當時，由，知，數(shù)列是常數(shù)列數(shù)列，舍去；當時，由知，；由對任意的,恒有知，；由結合數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列知，對任意的, 恒成立；當時，恒有 ，滿足；當時，，由知，存在正整數(shù),使得當時，，此時，當時，，不滿足，所以．

試題解析：（1）證明：必要條件：當c<0時，，

∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列． 2分

充分條件：當數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列時，對任意的, 恒成立，

∴對任意的, 恒成立，∵，∴． 4分

∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充要條件是． 5分

（2）∵數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，∴由（1）可得：； 7分

∵，

∴當時，，不合題意； 8分

當時，，，

∴，解得 ， 9分

又∵，∴，． 10分

又∵，

∴對任意的, 恒成立， 11分

∴當時，恒有 ，滿足，∴適合題意． 12分

當時，，由知，存在正整數(shù),使得當時，；此時，當時，

，不滿足，舍去； 13分

綜上可知，當時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列． 14分

考點：①數(shù)列的單調(diào)性的證明；②由數(shù)列的單調(diào)性確定參數(shù)的范圍．