Question

3．已知四邊形ABCD為直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，點E，F(xiàn)分別在線段AD和BC上，使FECD為正方形，將四邊形ABFE沿EF翻折至使二面角B-EF-C的所成角為60°
（Ⅰ）求證：CE∥面A′DB′
（Ⅱ）求直線A′B′與平面FECD所成角的正弦值

Answer 1

分析 （I）如圖所示，取FB′的中點M，連接CM，A′M．可得四邊形A′EMB′是平行四邊形．A′B′∥EM．同理可得A′D∥CM，可得平面EMC∥平面A′DB′，即可證明CE∥面A′DB′．
（II）取DE的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系．∠A′ED=∠B′FC=60°．平面EFCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．可得$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}||\overrightarrow{n}|}$．可得直線A′B′與平面FECD所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$|．

解答 （I）證明：如圖所示，取FB′的中點M，連接CM，A′M．
∵A′E$\underset{∥}{=}$B′M，
∴四邊形A′EMB′是平行四邊形．
∴A′B′∥EM．
∵A′M$\underset{∥}{=}$CD，
∴四邊形A′MCD是平行四邊形，
∴A′D∥CM，
又∵CM∩EM=M，A′B′∩A′D=A′，
∴平面EMC∥平面A′DB′，
由CE?平面CME．
∴CE∥面A′DB′．
（II）解：取DE的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系．∠A′ED=∠B′FC=60°．
則${B}^{′}（0，2，\sqrt{3}）$，A′$（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$=$（\frac{1}{2}，-2，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
平面EFCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+4+\frac{3}{4}}×1}$=-$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直線A′B′與平面FECD所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查了面面平行的判定定理與性質定理、平行四邊形的判定與性質、線面角、數(shù)量積運算性質、直角三角形的邊角關系、法向量的應用，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．