Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為

3

，點(diǎn)（

3

，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過(guò)的雙曲線右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為30°直線l，直線l與雙曲線交于不同的A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得

c a = 3 a= 3

，由此能求出雙曲線的方程．
（2）直線l的方程為y=

3

3

（x-3），聯(lián)立

x2 3 - y2 6 =1 y= 3 3 (x-3)

，得5x²+6x-27=0，由此能求出|AB|．

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為

3

，
點(diǎn)（

3

，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴

c a = 3 a= 3

，解得c=3，b=

6

，
∴雙曲線的方程為

x2

3

-

y2

6

=1．
（2）雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點(diǎn)為F₂（3，0），
∴經(jīng)過(guò)的雙曲線右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為30°直線l的方程為y=

3

3

（x-3），
聯(lián)立

x2 3 - y2 6 =1 y= 3 3 (x-3)

，得5x²+6x-27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

27

5

，
|AB|=

1+ 1 3

•

(- 6 5 )2-4×(- 27 5 )

=

16 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．