Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn)．求證：
（1）B₁C∥平面FAC₁；
（2）平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB₁，可得面B₁CE∥平面FAC₁，即B₁C∥平面FAC₁
（2）只需證明C₁F⊥面AA₁C₁B₁B，即可得平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

解答 解：（1）證明：如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB₁，
∵F為A₁B₁的中點(diǎn)，∴C₁F∥CE，AF∥B₁E，且C₁F∩AF=F，CE∩B₁E=E，
∴面B₁CE∥平面FAC₁，∵B₁C?B₁CE，
∴B₁C∥平面FAC₁

（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面A₁C₁B₁，∵C₁F?面A₁C₁B₁，∴A₁A⊥C₁F，
∵AC=BC，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn)，∴A₁B₁⊥C₁F，且AA₁∩A₁B₁，∴C₁F⊥面AA₁C₁B₁B，
C₁F?面A₁C₁B₁，∴平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行、面面垂直的判定，關(guān)鍵是空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．