Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-2ax，x∈R．
（1）當a=1時，求證：f（x）＞0；
（2）當a＞$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）在[0，2a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入求出導數(shù)f′（x），求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最小值，利用a的范圍判斷最小值大于0；
（2）求出導數(shù)f′（x），令f′（x）=0求出極值點x=lna，利用作差法、構(gòu)造函數(shù)法：求導、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求出函數(shù)的最值，再比較a與lna的大小，再求得f（0），f（a）后作差比較，即可得到最大值、最小值．

解答 證明：（1）當a=1時，f（x）=e^x-2x，則f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，則x=ln2，
當x＜ln2時，f′（x）＜0，當x＞ln2時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，ln2）上為減函數(shù)，在（ln2，+∞）上為增函數(shù)；
當x=ln2時，函數(shù)取最小值f（ln2）=2-2ln2，
∵2-2ln2＞0，∴f（x）＞0恒成立；
解：（2）由題意得f′（x）=e^x-2a，
令f′（x）=0且a＞$\frac{1}{2}$，解得x=ln2a＞0，
當a＞$\frac{1}{2}$，令M（a）=2a-ln2a，M′（a）=2-$\frac{2}{2a}$=$\frac{2a-1}{a}$＞0，
∴M（a）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
又∵M（$\frac{1}{2}$）=1-ln1=1，∴M（a）=2a-ln2a＞0恒成立，
即當a＞$\frac{1}{2}$時，2a＞ln2a，
∴當0≤x＜ln2a時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
ln2a＜x≤2a時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有x=ln2a處f（x）取得最小值2a（1-ln2a）；
又∵f（0）=e⁰-0=1，f（2a）=e^2a-4a²，
令h（a）=f（2a）-f（0）=e^2a-4a²-1，
 當a＞$\frac{1}{2}$時，h′（a）=2e^2a-8a＞0，
h（$\frac{1}{2}$）=e-1-1=e-2＞0，h（a）=e^2a-4a²-1＞0，
∴當a＞$\frac{1}{2}$時，f（2a）＞f（0），
綜上可得，當a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在[0，2a]上的最大值e^2a-4a²，最小值是2a（1-ln2a）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查作差后構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)判斷單調(diào)性，進而判斷大小，考查運算化簡能力，屬于中檔題．