Question

13．設P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點，過原點O作焦半徑PF₁的平行線交橢圓在P點處的切線于T，則OT=a．

Answer 1

分析 設橢圓的焦點F₁（-c，0），P（m，n），代入橢圓方程，對橢圓方程兩邊對x求導，求得切線的斜率和切線方程，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得直線OT的方程，代入切線方程，可得交點T的坐標，運用兩點的距離公式，化簡整理可得|OT|=a．

解答 解：設橢圓的焦點F₁（-c，0），P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）．
對$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1兩邊對x求導，可得
$\frac{2x}{{a}^{2}}$+$\frac{2yy′}{^{2}}$=0，即有切線的斜率為-$\frac{m^{2}}{n{a}^{2}}$，
則切線的方程為y-n=-$\frac{m^{2}}{n{a}^{2}}$（x-m），
即為$\frac{mx}{{a}^{2}}$+$\frac{ny}{^{2}}$=1，
由題意可得直線OT的方程為y=$\frac{n}{m+c}$x，
解得交點T（$\frac{{a}^{2}（m+c）}{{a}^{2}+mc}$，$\frac{{a}^{2}n}{{a}^{2}+mc}$），
則|OT|²=$\frac{{a}^{4}（{n}^{2}+（m+c）^{2}）}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$
=$\frac{{a}^{4}[^{2}（1-\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}）+{m}^{2}+2mc+{c}^{2}]}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$=a²•$\frac{{a}^{4}+{m}^{2}{c}^{2}+2{a}^{2}mc}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$=a²，
即有|OT|=a．
故答案為：a．

點評 本題考查橢圓的切線方程的求法和運用，考查兩直線的交點的求法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．