Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AC=2BC，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求直線AB與平面A₁BC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）先證BC⊥平面ACC₁A₁得BC⊥AC₁，由四邊形ACC₁A₁為正方形得出AC₁⊥A₁C，故而AC₁⊥平面A₁BC，于是AC₁⊥A₁B；
（II）由AC₁⊥平面A₁BC可知∠ABO是直線AB與平面A₁BC所成的角，設(shè)BC=a，利用勾股定理求出OA，OB即可得出tan∠ABO．

解答 證明（Ⅰ）∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，又AC₁?平面A₁C₁CA，
∴AC₁⊥BC．
∵AA₁=AC，∴四邊形A₁C₁CA為正方形，
∴AC₁⊥A₁C，又AC₁∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，又A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁B．
解（Ⅱ）設(shè)AC₁∩A₁C=O，連接BO．
由（Ⅰ）得AC₁⊥平面A₁BC，
∴∠ABO是直線AB與平面A₁BC所成的角．
設(shè)BC=a，則AA₁=AC=2a，∴$AO=\frac{1}{2}A{C_1}=\sqrt{2}a$，$BO=\sqrt{{a^2}+2{a^2}}=\sqrt{3}a$，
在Rt△ABO中，$tan∠ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直線AB與平面A₁BC所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判斷與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．