Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c的圖象為曲線E．
（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，求此時(shí)a，b的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）在滿足（1）的條件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，則f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個(gè)解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9．
（2）由（1）可得f（-1）f（3）＜0，列出不等式，即可求出c的取值范圍；
（3）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根據(jù)題意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，令g（x）=x³-3x²-9x，令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，從而函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）遞增，（-1，3）遞減，（3，6]遞增，求出函數(shù)g（x）在x=-1時(shí)有極大值5且在端點(diǎn)x=6處的值為54，問(wèn)題解決．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，則f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個(gè)解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9；
（2）由（1）可得f（-1）f（3）＜0，即（-1-3+9+c）（27-27-27+c）＜0
∴-5＜c＜27；
（3）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根據(jù)題意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，∵函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）在x=-1時(shí)有極大值5（用求導(dǎo)的方法）且在端點(diǎn)x=6處的值為54，
∴函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值為54，∴c＞54．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．