Question

17．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點A（$\sqrt{6}$，1），點P在橢圓C上，且在第一象限內(nèi)，直線PQ與圓O：x²+y²=b²相切于點M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求點Q的縱坐標的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點A（$\sqrt{6}$，1），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由圓O的方程為x²+y²=4，設(shè)點Q的縱坐標為t，則Q（2，t），當MP⊥x軸時，求出t=-2$\sqrt{2}$；當PM不垂直于x軸時，設(shè)直線OP：y=kx（k＞0，x＞0），則直線OQ：y=-$\frac{1}{k}x$，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出點Q的縱坐標的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點A（$\sqrt{6}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圓O的方程為x²+y²=4，
①設(shè)點Q的縱坐標為t，則Q（2，t），當MP⊥x軸時，
∵點P在橢圓C上，且在第一象限內(nèi)，∴P（2，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}=4+\sqrt{2}t=0$，解得t=-2$\sqrt{2}$．
②當PM不垂直于x軸時，設(shè)直線OP：y=kx（k＞0，x＞0），
∴直線OQ：y=-$\frac{1}{k}x$，
則P（x₀，kx₀），Q（-tx，t），
在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，
∴$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}}$=2$\sqrt{（{x}_{0}+tx）^{2}+（k{x}_{0}-t）^{2}}$，
即${{（x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{x}_{0}{\;}^{2}）（{t}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}）$=4[（x₀+kt）²+（kx₀-t）²]，
${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}（1+{k}^{2}）^{2}=4（{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}+{k{{\;}^{2}x}_{0}}^{2}+{t}^{2}）$，
∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}（1+{k}^{2}）=4（{{x}_{0}}^{2}+{t}^{2}）$，∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{k}^{2}{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，
又由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{k}^{2}{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，
又由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴${k}^{2}{{x}_{0}}^{2}=4-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+（4-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}{t}^{2}}{2}-4{{x}_{0}}^{2}$=0，
∴t²=8，解得t=$±2\sqrt{2}$．
∴點Q的縱坐標的值為$±2\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點的縱坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程、橢圓和直線的位置關(guān)系的合理運用．