分析 (1)由已知中函數(shù)f(x),滿足$f({x+4})=f(x),f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{x-1},-2≤x≤0\\ x+2,0<x<2\end{array}\right.$,且f(3)=f(1)-1,構(gòu)造方程,解得實(shí)數(shù)k的值;
(2)函數(shù)$g(x)=f(x)+f({-x})=\left\{\begin{array}{l}x+2+\frac{4}{x+1},0<x<2\\ \frac{-4}{x-1}-x+2,-2<x<0\\ \frac{8}{3},x=2或-2\\ 8,x=0\end{array}\right.$,分類討論各段上函數(shù)值的范圍,可得答案.
解答 解:(1)由題意可得f(1)-1=1+2-1=2,
f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,
所以可得$\frac{k}{-1-1}=2,k=-4$.
(2)由$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{x-1},-2≤x≤0\\ x+2,0<x<2\end{array}\right.$得:
$f({-x})=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{-x-1},-2<-x<0\\-x+2,0<-x<2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{x+1},0<x<2\\-x+2,-2<x<0\end{array}\right.$,
∴$g(x)=f(x)+f({-x})=\left\{\begin{array}{l}x+2+\frac{4}{x+1},0<x<2\\ \frac{-4}{x-1}-x+2,-2<x<0\\ \frac{8}{3},x=2或-2\\ 8,x=0\end{array}\right.$,
當(dāng)0<x<2時(shí),1<x+1<3,
所以$g(x)=x+2+\frac{4}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}+1≥2\sqrt{4}+1$
在(x+1)2=4即x=1處取得最小值,
所以g(x)在(0,1)處單調(diào)遞減,
在[1,2)上單調(diào)遞增,
$g(x)=\lim_{x→0}(x+2+\frac{4}{x+1})=6$,
當(dāng)x→2時(shí),$g(x)=\lim_{x→2}(x+2+\frac{4}{x+1})=\frac{16}{3}$,
所以g(x)在(0,2)上的值域?yàn)閇5,6).
當(dāng)-2<x<0時(shí),1<1-x<3,
∴$g(x)=\frac{4}{1-x}+({1-x})+1≥5$;
當(dāng)(1-x)2=4,即x=-1時(shí)取得最小值;
當(dāng)x→-2時(shí),$g(x)=\lim_{x→-2}({2-x+\frac{4}{1-x}})=\frac{16}{3}$;
當(dāng)x→0時(shí),$g(x)=\lim_{x→0}=({2-x+\frac{4}{1-x}})=6$,
∴g(x)在(-2,0)上的值域?yàn)閇5,6).
綜上所述,g(x)的值域?yàn)?\left\{{\frac{8}{3}}\right\}∪[{5,6})∪\left\{8\right\}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的值域,分類討論思想,難度中檔.
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