Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常數(shù)a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0．如果對(duì)于f（x）的圖象上兩點(diǎn)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），存在x₀∈（x₁，x₂），使得f（x）的圖象在x=x₀處的切線m∥P₁P₂，求證：x0＜

x1+x2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常數(shù)a∈R），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)a的范圍進(jìn)行分類討論，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知f（x）的圖象在x=x₀處的切線m∥P₁P₂，把x₀代入f′（x），再求出f（

x1+x2

2

），要證x0＜

x1+x2

2

，只要證f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)即可；

解答：解：（ I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

a

x

-2(x-1)-a=

(1-x)(2x+a)

x

（2分）
①a≥0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）
②-2＜a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-

a

2

，1），減區(qū)間為（0，-

a

2

），（1，+∞）
③a=-2時(shí)，f（x）減區(qū)間為（0+∞）
④a＜-2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，-

a

2

），減區(qū)間為（0，1），（-

a

2

，+∞）
（ II）由題意

f′(x0)=kP1P2= f(x2)-f(x1) x2-x1

=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a
又：f′(

x1+x2

2

)=

2a

x1+x2

-(x1+x2-2)-a．（9分）
f′（x）=

a

x

-2(x-1)-a（a＞0）在，（0，+∞）上為減函數(shù)
要證x0＜

x1+x2

2

，只要證f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)
即

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，即證ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

（13分）
令t=

x2

x1

＞1，g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴l(xiāng)nt＞

2(t-1)

t+1

，

lnt

t-1

＞

2

t+1

即ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

∴x₀＜

x1+x2

2

證（15分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用了分類討論的思想和轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，第二問證明比較難，注意問題的轉(zhuǎn)化及證明方法分析法的使用；