Question

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象的一個(gè)對(duì)稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.

（1）求的解析式，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；

（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

Answer 1

【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）、、；（3）.

【解析】

（1）由函數(shù)的最小正周期求出的值，由圖象的對(duì)稱軸方程得出的值，從而可求出函數(shù)的解析式；

（2）先利用圖象變換的規(guī)律得出函數(shù)的解析式，然后在區(qū)間上解方程可得出函數(shù)的零點(diǎn)；

（3）對(duì)分三種情況、、分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出和，可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最大值.

（1）由題意可知，，.

令，即，

即函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為.

由于函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，，

，，，則，因此，.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，得到函數(shù).

再將所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù).

令，即，化簡(jiǎn)得，

得或.

由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.

因此，函數(shù)在上的零點(diǎn)為、、；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，，由于，，

此時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，，由于，，

此時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，，，

此時(shí)，.

所以，.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

綜上所述：.