Question

13．已知M={x|1＜x＜3}，N={x|x²-6x+8≤0}．
（1）設(shè)全集U=R，定義集合運(yùn)算△，使M△N=M∩（∁_UN），求M△N和N△M；
（2）若H={x||x-a|≤2}，按（1）的運(yùn)算定義求：（N△M）△H．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出M，N，結(jié)合題意計(jì)算即可；
（2）解不等式求出集合H，結(jié)合（1）中N△M，分類討論，可得（N△M）△H．

解答 解：（1）M={x|1＜x＜3}，N={x|x²-6x+8≤0}={x|2≤x≤4}；
根據(jù)題意，U=R，∁_UN={x|x＜2或x＞4}，
∴M△N=M∩（∁_UN）={x|1＜x＜2}，
又∁_UM={x|x≤1或x≥3}，
∴N△M=N∩（∁_UM）={x|3≤x≤4}；
（2）∵H={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，
∴（N△M）△H=（N△M）∩（C_UH）=（1，2）∩[（-∞，a-2）∪（a+2，+∞）]，
當(dāng)a-2≥2，或a+2≤1，即a≥4，或a≤-1時(shí)，（N△M）△H=（1，2）；
當(dāng)1＜a-2＜2，即3＜a＜4時(shí)，（N△M）△H=（1，a-2）；
當(dāng)1＜a+2＜2，即-1＜a＜0時(shí)，（N△M）△H=（a+2，2）；
當(dāng)a-2≤1，且a+2≥2，即0≤a≤3時(shí)，（N△M）△H=∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的交集，并集，補(bǔ)集的定義與運(yùn)算問題，是綜合性題目．