Question

若正數(shù)x，y滿足

x+y≤≤6 5x+y≥7 y≥ex

，則

y

x

的最小值為

 

，最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，得到

y

x

的最大值，再由導(dǎo)數(shù)求出曲線y=e^x過原點(diǎn)的切線的斜率得到

y

x

的最小值．

解答： 解：由約束條件

x+y≤6 5x+y≥7 y≥ex

作出可行域如圖，

聯(lián)立

x+y=6 5x+y=7

，解得C（

1

4

，

23

4

），
由圖可知，

y

x

的最大值為kOC=

23 4

1 4

=23；
最小值為曲線y=e^x過原點(diǎn)的切線的斜率．
設(shè)切點(diǎn)為P（x0，ex0），y′|x=x0=ex0，
則過點(diǎn)P（x0，ex0）處的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
把原點(diǎn)（0，0）代入切線方程，得-ex0=ex0(-x0)，得x₀=1．
把x₀=1代入ex0得，曲線y=e^x過原點(diǎn)的切線的斜率為e．
∴

y

x

的最小值為e．
故答案為：e；23．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，是中檔題．