Question

【題目】已知拋物線:（）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，若滿足，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，.

【解析】

（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義，可得的方程，即可得出拋物線的方程；

（2）方法一：設(shè)，，由得，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算并化簡整理，運(yùn)用直線的斜率公式和直線方程，以及直線恒過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn)坐標(biāo).

方法二：設(shè)，，設(shè)直線：（），與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，而，則，代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算并解出，進(jìn)行檢驗(yàn)后可得直線方程，由此可得直線恒過定點(diǎn)以及定點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）拋物線:（）的準(zhǔn)線方程為，

由拋物線的定義得，，

解得，

所以拋物線方程為.

（2）方法一：設(shè)，，，且，皆不為，

，

，即，

，

又，，

直線斜率為，

直線方程為：，

即為，

直線恒過定點(diǎn)，

直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

方法二：設(shè)，，

由條件可知直線的斜率不為0，可設(shè)直線：（），

代入,得：，

，，，

，

，

即，

，

，

，符合，

直線：，則直線恒過定點(diǎn)，

直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.