Question

15．已知兩條直線l₁：y=m和l₂：y=$\frac{8}{2m+1}$（m＞0），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左到右相交于A、B，l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左到右相交于C、D，記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b，當m變化時，$\frac{a}$的最小值為（　�。�

• A． 16$\sqrt{2}$
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 8$\root{3}{4}$
• D． 4$\root{3}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)A，B，C，D各點的橫坐標，依題意和對數(shù)的運算求橫坐標的表達式，由平行投影的概念表示出a和b，代入$\frac{a}$利用指數(shù)的運算化簡，由m的范圍和基本不等式求出最小值．

解答 解：設(shè)A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=$\frac{8}{2m+1}$，log₂x_D=$\frac{8}{2m+1}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{8}{2m+1}}$，x_D=${2}^{\frac{8}{2m+1}}$．
∴a=|x_A-x_C|=|${2}^{-m}-{2}^{-\frac{8}{2m+1}}$|，b=|x_B-x_D|=|${2}^{m}-{2}^{\frac{8}{2m+1}}$|，
則$\frac{a}$═|$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{8}{2m+1}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{8}{2m+1}}}$|=2^m•${2}^{\frac{8}{2m+1}}$=${2}^{m+\frac{8}{2m+1}}$，
又m＞0，
∴m+$\frac{8}{2m+1}$=$\frac{1}{2}$（2m+1）+$\frac{8}{2m+1}$-$\frac{1}{2}$
≥2 $\sqrt{\frac{1}{2}（2m+1）×\frac{8}{2m+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
當且僅當 $\frac{1}{2}$（2m+1）=$\frac{8}{2m+1}$，即m=$\frac{3}{2}$時取等號，
∴$\frac{a}$≥${2}^{\frac{7}{2}}$=$8\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)，平行投影的概念，以及基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，化簡、變形能力．