Question

1．己知sinα+cosα=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），則sinⁿα+cosⁿα關(guān)于a的表達(dá)式為sinⁿα+cosⁿα=（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，整理表示出sinαcosα，根據(jù)sinα+cosα與sinαcosα構(gòu)造方程，將原式變形即可．

解答 解：把sinα+cosα=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=a²，
整理得：sinαcosα=$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，
構(gòu)造方程x²-ax+$\frac{{a}^{2}-1}{2}$=0，
解得：x=$\frac{a±\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$，且sinα與cosα為方程的解，
則sinⁿα+cosⁿα=（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ．
故答案為：（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．