Question

命題p：冪函數(shù)y=x³在（-∞，0）上單調(diào)遞減；命題q：已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則4＜m＜8．則下列說法正確的是（　�。�

• A、p∧q為真命題
• B、p∧q為假命題
• C、（￢p）∧q為真命題
• D、p∧（￢q）為真命題

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題可以先判斷命題p，q的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷規(guī)律，判斷出復(fù)合命題的真假，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵冪函數(shù)y=x³在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴命題p（冪函數(shù)y=x³在（-∞，0）上單調(diào)遞減）是假命題；
∵f（a），f（b），f（c）能構(gòu)成一個三角形的三邊長，
∴f（a）＞0．f（b）＞0．f（c）＞0，且

f(a)+f(b)＞f(c) f(b)+f(c)＞f(a) f(c)+f(a)＞f(b)

．
又∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，
∴當(dāng)x∈[1，3]時，f（a）+f（b）≥2[f（x）]_min＞[f（x）]_max≥f（c）．
∴2[f（x）]_min＞[f（x）]_max．
∵f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，
當(dāng)2＜x＜3時，f′（x）＞0，
∵f（1）=-2+m，f（2）=-4+m，f（3）=m，
∴m-4＞0，且2（m-4）＞m，
∴m＞8．
∴命題q（已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則4＜m＜8．）是假命題．
∴p∧q為假命題．
故選B．

點評：本題考查了命題真假的判斷和復(fù)合命題真假的判斷規(guī)律，還考查了用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)最值，本題難度適中，屬于中檔題．