Question

20．如圖所示，在南海上有兩座燈塔A、B，這兩座燈塔之間的距離為60千米，有個貨船從島P處出發(fā)前往距離120千米島Q處，行駛致一半路程時剛好到達M處，恰巧M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$，則$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．

Answer 1

分析 用端點含M的向量表示$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{BP}$，根據向量的幾何運算化簡即可得出答案．

解答 解：由題意可知，$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{MQ}$，MP=$\frac{1}{2}$PQ=60．
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=$（{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}}）（{\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MP}}）$=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$
=$0+\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}•（{-\overrightarrow{MP}}）+\overrightarrow{MP}•（{-\overrightarrow{MP}}）$
=$\overrightarrow{MP}（{\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BM}}）-{\overrightarrow{MP}^2}$
=$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{MP}^2}$
=-$\overrightarrow{MP}$²
=-3600．
故答案為：-3600．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．