Question

11．已知圓O：x²+y²=16及圓內(nèi)一點(diǎn)F（-3，0），過F任作一條弦AB．
（1）求△AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)直線AB的方程；
（2）若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平方線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠AOB=θ，則${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|sinθ=\frac{1}{2}×4×4×sinθ=8sinθ$，即可求△AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)直線AB的方程；
（2）分類討論，由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+3）\\{x^2}+{y^2}=16\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6k²x+（9k²-16）=0，利用∠BMF=∠AMF，k_BM+k_AM=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)∠AOB=θ，則${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|sinθ=\frac{1}{2}×4×4×sinθ=8sinθ$，
當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，S_△AOBmax=8，此時(shí)O到AB的距離為$2\sqrt{2}＜3$，${k_{AB}}=±2\sqrt{2}$，
∴S_△AOBmax=8，直線AB的方程為$y=±2\sqrt{2}（x+3）$．
（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，MF始終平分∠AMB．
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x+3），（k≠0），設(shè)M（m，0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+3）\\{x^2}+{y^2}=16\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6k²x+（9k²-16）=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{k^2}-16}}{{1+{k^2}}}$．
∵∠BMF=∠AMF，
∴k_BM+k_AM=0，${k_{BM}}+{k_{AM}}=\frac{y_1}{{{x_1}-m}}+\frac{y_2}{{{x_2}-m}}=\frac{{k（{x_1}+3）}}{{{x_1}-m}}+\frac{{k（{x_2}+3）}}{{{x_2}-m}}=0$，
∴（x₁+3）（x₂-m）+（x₂+3）（x₁-m）=0，
∴2x₁x₂+（3-m）（x₁+x₂）-6m=0，
∴$2×\frac{{9{k^2}-16}}{{1+{k^2}}}+（3-m）×\frac{{-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}-6m=0$，
∴-32-6m=0，$m=-\frac{16}{3}$，
∴$M（-\frac{16}{3}，0）$．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．