Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，)，過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線(xiàn)l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線(xiàn)l的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）是否存過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿(mǎn)足？若存在，求出直線(xiàn)l₁的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，
由題意得，解得，
故橢圓C的方程為；
（Ⅱ）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線(xiàn)l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為，
由得，①
因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓相切，所以，
整理得，解得，
所以直線(xiàn)l的方程為，
將代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為；
（Ⅲ）若存在直線(xiàn)l₁滿(mǎn)足條件的方程為，
代入橢圓C的方程得，
因?yàn)橹本�(xiàn)l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以，
所以，
又，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110929/201109291532410781045.gif">，
即，
所以，
即，
所以，解得，
因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以，
于是存在直線(xiàn)l₁滿(mǎn)足條件，其方程為。