Question

（12分）二次函數f(x)與g(x)=x²－1的圖像開口大小相同，開口方向也相同，y=f(x)的對稱軸方程為x=1，圖像過點(2, )點
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在大于1的實數m，使y=f(x)在[1, m]上的值域是［1, m］？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）f(x)= (x－1)²+1；（2）存在m=3符合題意.

第一問根據開口大小相同，開口方向相同可以確定兩二次函數的二次項系數相同，所以可設f(x)=(x－1)²+k，將點代入就可求出。第二問根據函數的單調性可以確定f(m)=m，解出來與1比較大小就可以確定m是否存在。
解：（1）由題意設f(x)=(x－1)²+k 代入(2, )k=1
∴f(x)= (x－1)²+1
（2）假設存在，則y=f(x)在[1, m]上↑
f(m)=m
即(m－1)²+1=m
m="1," m=3
又m>1
∴ m=3
存在m=3符合題意.