Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=2ⁿ．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差數(shù)列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先計算a₁，a₂，令n=n-1得出式子，兩式相減得出a₁+a₂+…+a_n=2^n-1（n≥2），再令n=n-1，兩式再相減得出a_n；
（2）對p的取值范圍進(jìn)行討論，計算a_r+a_p與2a_q進(jìn)行比較大小得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=2，
∵na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=2ⁿ，∴（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=2^n-1（n≥2），
兩式相減得：a₁+a₂+…+a_n=2^n-1．（n≥2）
當(dāng)n=2，a₁+a₂=2，∴a₂=0，
當(dāng)n≥3時，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-2（n≥3），
兩式相減得：a_n=2^n-2（n≥3），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{0，n=2}\\{{2}^{n-2}，n≥3}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)p≥3時，a_p=2^p-2，a_q=2^q-2，a_r=2^r-2=2•2^r-3=2a_r-1，
∴a_r+a_p＞a_r=2 a_r-1≥2a_q，
∴不存在正整數(shù)p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差數(shù)列；
當(dāng)p=2時，a_p=0，a_r+a_p=2 a_r-1≥2a_q，當(dāng)且僅當(dāng)r-1=q時取等號，
當(dāng)p=1，q≥3，r≥4時，a_r=2a_r-1，a_r+a_p＞2 a_r-1≥2a_q，
∴不存在正整數(shù)p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差數(shù)列，
綜上，存在正整數(shù)p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差數(shù)列，
此時p=2，r=q+1．

點評 本題考查了數(shù)列通項公式的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．