已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,設(shè)該圓的圓心為點(diǎn)C.
(1)試求圓C的方程.
(2)若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,且CA⊥CB,求直線l的方程.
(3)求直線y=k(x-9)與圓C在第一象限部分的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
分析:(1)根據(jù)平面區(qū)域與最小圓的位置關(guān)系得知,確定圓的位置,從而得到圓的方程;
(2)設(shè)所求的直線方程一般形式,根據(jù)CA⊥CB,得知△ABC為等腰Rt△,即可求點(diǎn)C
到AB的距離,然后用點(diǎn)到直線的距離公式,求出參數(shù),從而求出直線方程.
解答:解:(1)依題意可知,設(shè)直線x+2y-4=0分別在x軸、y軸上的交點(diǎn)為M、N,則M(4,0),N(0,2),
最小圓就是以MN為直徑的圓,∴(x-2)2+(y-1)2=5;
(2)設(shè)直線l的方程為:x-y+t=0.則C(2,1)
∵CA⊥CB,∴△ABC為等腰Rt△,即知點(diǎn)C到AB的距離為
5
2

則由點(diǎn)到直線的距離公式得
|2-1+t|
2
=
5
2
,
解得t=±
5
-1

所以直線方程為x-y+
5
-1=0
x-y-
5
-1=0

(3)由已知,k<0.
若直線與圓相切,則點(diǎn)到直線的距離公式得
|2•k-1-9k|
k2+1
=
5

解得k=-
1
2

又由圓與y軸正半軸交點(diǎn)A(0,2),
∴直線過定點(diǎn)B(9,0),kAB=-
2
9

所以,k∈[-
2
9
,0)∪{-
1
2
}
時(shí)有1個(gè)公共點(diǎn),k∈(-
1
2
,-
2
9
)
時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):此題考查平面區(qū)域、點(diǎn)到直線的距離公式及直線和圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋.
(1)試求圓C的方程.
(2)若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A,B滿足CA⊥CB,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
被圓C及其內(nèi)部所覆蓋.
(1)當(dāng)圓C的面積最小時(shí),求圓C的方程;
(2)若斜率為1的直線l與(1)中的圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且滿足CA⊥CB,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為
(x-2)2+(y-1)2=5
(x-2)2+(y-1)2=5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
  恰好被面積最小的⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋.
(1)試求⊙C的方程.
(2)若斜率為1的直線l與⊙C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且滿足CA⊥CB,求直線l的方程.

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