Question

已知平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圓C及其內(nèi)部所覆蓋．
（1）當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，求圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由約束條件得出其可行域是直角三角形及其內(nèi)部，被圓C及其內(nèi)部所覆蓋，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，求出即可；
（2）設(shè)出直線l的方程，直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且滿足CA⊥CB，則圓心C到直線l的距離是

2

2

r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出．

解答：解：（1）由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)（0，0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，∴圓心是Rt△OPQ的斜邊PQ的中點(diǎn)C（2，1），半徑r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）設(shè)直線l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圓心C到直線l的距離是

2

2

r=

10

2

，
即

|2-1+b|

2

=

10

2

，解之得，b=-1±

5

．
∴直線l的方程是：y=x-1±

5

．

點(diǎn)評(píng)：正確由約束條件得出其可行域是直角三角形及其內(nèi)部，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進(jìn)而即可得出其圓的方程．
熟練掌握直線與圓相交問題的解題模式及點(diǎn)到直線的公式是解題的關(guān)鍵．