Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{f}^{'}$（e）x+xlnx（其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，x＞0）．
（Ⅰ）求f′（e）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）是否存在整數(shù)k，使得對(duì)任意的x＞0，f（x）＞k（x-1）恒成立（*）若存在，寫(xiě)出一個(gè)整數(shù)k，并證明（*）；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（e）的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅲ）令k=1或2或3，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{3}f'（e）+lnx+1$，…（1分）
${f}^{'}（e）=\frac{1}{3}{f}^{'}（e）+1+1$，f′（e）=3…（2分）
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x+xlnx，（x＞0），f'（x）=2+lnx，…（3分）
令$f'（x）=2+lnx=0，即lnx=-2，即x=\frac{1}{e^2}$，…（4分）
令$f'（x）=2+lnx＞0，即lnx＞-2，即x∈（{\frac{1}{e^2}，+∞}），f（x）遞增$，…（5分）
令$f'（x）=2+lnx＜0，即lnx＜-2，即x∈（{0，\frac{1}{e^2}}），f（x）遞減$，…（6分）
∴$f{（x）_{極小}}=f（{\frac{1}{e^2}}）=\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^2}×（{-2}）=-\frac{1}{e^2}$，無(wú)極大值．…（7分）
（Ⅲ）①當(dāng)k=1時(shí)，命題成立…（8分）．證明如下：
對(duì)任意的x＞0，f（x）=x+xlnx＞1（x-1）即xlnx+1＞0恒成立
令g（x）=xlnx+1，g'（x）=lnx+1，令$g'（x）=1+lnx=0，即lnx=-1，即x=\frac{1}{e}$，…（9分）；
令$g'（x）=1+lnx＞0，即lnx＞-1，即x∈（{\frac{1}{e}，+∞}），g（x）遞增$，…（10分）；
令$g'（x）=1+lnx＜0，即lnx＜-1，即x∈（{0，\frac{1}{e}}），g（x）遞減$，…（11分）；
∴$g{（x）_{min}}=g{（x）_{極小}}=g（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}×（{-1}）=1-\frac{1}{e}＞0$…（12分）；
②當(dāng)k=2時(shí)，命題成立…（8分）．證明如下：
對(duì)任意的x＞0，f（x）=x+xlnx＞2（x-1）即xlnx-x+2＞0恒成立
令g（x）=xlnx-x+2，g'（x）=lnx，令g'（x）=lnx=0，即x=1，…（9分）；
令g'（x）=lnx＞0，即x∈（1，+∞），g（x）遞增，…（10分）；
令g'（x）=lnx＜0，即x∈（0，1），g（x）遞減，…（11分）；
∴g（x）_min=g（x）_極小=g（1）=-1+0+2=1＞0…（12分）；
③當(dāng)k=3時(shí)，命題成立…（8分）．證明如下：
對(duì)任意的x＞0，f（x）=x+xlnx＞3（x-1）即xlnx-2x+3＞0恒成立
令g（x）=xlnx-2x+3，g'（x）=lnx-1，令g'（x）=lnx-1=0，即x=e，…（9分）
令g'（x）=lnx-1＞0，即x∈（e，+∞），g（x）遞增，…（10分）；
令g'（x）=lnx-1＜0，即x∈（0，e），g（x）遞減，…（11分）；
∴g（x）_min=g（x）_極小=g（e）=e-2e+3=3-e＞0…（12分）
（說(shuō)明：k=1，k=2，k=3只要對(duì)其中一種都是滿分．）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．