Question

17．函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值為-2，其圖象相鄰的最高點和最低點的橫坐標差是3π，又圖象過點（0，1），求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{3π}{2}，0]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{3π}{2}，0]$上的最值．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{2}=3π∴T=6π∴ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{6π}=\frac{1}{3}$，
$\frac{T}{2}=3π$，∴T=6π，∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{6π}=\frac{1}{3}$，
又∵A=2，∴$f（x）=2cos（\frac{1}{3}x+ϕ）$．
∵圖象過點（0，1），∴2cosϕ=1，∵0＜ϕ＜π，∴$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=2cos（\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵$-\frac{3}{2}π≤x≤0∴-\frac{π}{6}≤\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，∴$當\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}=0即x=-π時，f{（x）_{max}}=2$．$當\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}即x=0時，f{（x）_{min}}=1$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．