已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-mx2+
3
2
mx，(m＞0)．
（1）當m=2時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調性．
分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x），然后進行配方，討論
3
2
m-m2的符號，結合導函數(shù)f'（x）的符號，即可判定函數(shù)的單調性．
解答：解：（1）當m=2時，f(x)=
1
3
x3-2x2+3x，
則f'（x）=x2-4x+3，故f'（0）=3，
函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程為y=3x．
（2）f′(x)=x2-2mx+
3
2
m=(x-m)2+
3
2
m-m2，
當
3
2
m-m2≥0，又m＞0，即0＜m≤
3
2
時，f'（x）≥0，
則函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
當
3
2
m-m2＜0，又m＞0，即m＞
3
2
時，
由f'（x）＞0，得x＜m-
m2-
3
2
m
或x＞m+
m2-
3
2
m
，
由f'（x）＜0，得m-
m2-
3
2
m
＜x＜m+
m2-
3
2
m
，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，m-
m2-
3
2
m
)和(m+
m2-
3
2
m
，+∞)上是增函數(shù)，
在區(qū)間(m-
m2-
3
2
m
，m+
m2-
3
2
m
)上是減函數(shù)．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)單調性的求解，同時考查了計算能力，轉化的思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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