Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長為2$\sqrt{2}$，且橢圓C與圓M：（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$的公共弦長為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）經(jīng)過原點(diǎn)作直線l（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在橢圓C上，且$（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EB}}）•（{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}}）=0$，求證：B，D，E三點(diǎn)共線..

Answer 1

分析 （1）由題意得$2a=2\sqrt{2}$，由橢圓C與圓M：${（{x-1}）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的公共弦長為$\sqrt{2}$，其長度等于圓M的直徑，得橢圓C經(jīng)過點(diǎn)$（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），D（x₁，0）．利用點(diǎn)差法求出$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}$，從而求出k_AB•k_AE=-1，進(jìn)而求出k_BE=k_BD，由此能證明B，D，E三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）由題意得$2a=2\sqrt{2}$，則$a=\sqrt{2}$．
由橢圓C與圓M：${（{x-1}）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的公共弦長為$\sqrt{2}$，
其長度等于圓M的直徑，
可得橢圓C經(jīng)過點(diǎn)$（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
所以$\frac{1}{2}+\frac{{\frac{1}{2}}}{b^2}=1$，解得b=1．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
證明：（2）設(shè)A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），D（x₁，0）．
因?yàn)辄c(diǎn)A，E都在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+2y_1^2=2\\ x_2^2+2y_2^2=2\end{array}\right.$，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
即$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}$．
又$（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EB}}）•（{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}}）$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AB}=0$，
所以k_AB•k_AE=-1，
即$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，
所以$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}=1$
所以$\frac{y_1}{x_1}=\frac{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$
又${k_{BE}}-{k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{y_1}{{2{x_1}}}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=0$，
所以k_BE=k_BD，
所以B，D，E三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查三點(diǎn)共線的證明，考查橢圓、點(diǎn)差法、向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．