Question

7．如圖所示，一海島駐扎一支部隊(duì)，海島離岸邊最近點(diǎn)B的距離是150km．在岸邊距B點(diǎn)300km的點(diǎn)A處有一軍需品倉庫．有一批軍需品要盡快送達(dá)海島．A與B之間有一鐵路，現(xiàn)用海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送，火車時(shí)速為50km，輪船時(shí)速為30km，試在岸邊選一點(diǎn)C，先將軍需品用火車送到點(diǎn)C，再用輪船從點(diǎn)C運(yùn)到海島．問點(diǎn)C選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短？

Answer 1

分析 設(shè)BC=xkm，得出運(yùn)輸時(shí)間y關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)的最小值．

解答 解：設(shè)BC=xkm，火車運(yùn)算距離為AC=300-x，輪船運(yùn)算距離為$\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}$，
∴運(yùn)輸時(shí)間y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$，0≤x≤300，
∴y′=$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}$-$\frac{1}{50}$，令y′=0，則有5x=3$\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}$，
解得x=$\frac{225}{2}$或x=-$\frac{225}{2}$（舍），
∴當(dāng)0$＜x＜\frac{225}{2}$時(shí)，y′＜0，當(dāng)$\frac{225}{2}＜x＜30$時(shí)，y′＞0，
∴函數(shù)y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$在[0，$\frac{225}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{225}{2}$，30]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{225}{2}$時(shí)，y取得最小值10．
∴當(dāng)BC=$\frac{225}{2}$km時(shí)，遠(yuǎn)輸時(shí)間最短．

點(diǎn)評 本題考查了解三角形與函數(shù)模型的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性與最值的計(jì)算，屬于中檔題．