Question

7．如圖，P為⊙O外的一點，直線PO與⊙O于A、B兩點，C為⊙O上一點，CD⊥PO交PO于D，CA平分∠PCD．
（1）證明：PC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為4，BC=3AC，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的判斷方法，證明∠PCO=90°，即可證明：PC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為4，BC=3AC，由△PAC∽△PCB求PC的長．

解答 證明：（1）連接OC，
∵AB為圓的直徑，
⊥AC⊥CB，
∵CD⊥PO，
∴∠ACD=∠CBA，
∵CA平分∠PCD，
∴∠ACD=∠PCA，
∴∠PCA=∠CBA，
∵∠CBA=∠OCB，
∴∠PCA=∠OCB，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°，
∴PC是⊙O的切線；
解：（2）由△PAC∽△PCB得$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$=$\frac{CA}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{1}{3}$PB=$\frac{1}{3}$（PA+4），
∵PA=$\frac{1}{3}$PC，
∴PC=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．