Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，a₁=1且a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=2n-1，則T₈-2等于（　�。�

• A． $\frac{31}{32}$
• B． $\frac{255}{64}$
• C． $\frac{63}{64}$
• D． $\frac{127}{128}$

Answer 1

分析 構造當n≥2時，a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-2a_n-1=2n-3，與原式相減，即可求得a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，當n=1時，不滿足，故求得數(shù)列{a_n}的通項公式，求得T₈-2的值．

解答 解：由a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=2n-1，
當n≥2時，a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-2a_n-1=2n-3，
兩式相減得：2^n-1a_n=2，
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
當n=1時，a₁=1，不滿足滿足，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$
∴T₈=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$=2+$\frac{63}{64}$，
T₈-2=$\frac{63}{64}$，
故答案為：C．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查等比數(shù)列的前n項和公式，考查學生的觀察及計算能力，屬于中檔題．