Question

已知函數(shù)f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）（ω＞0）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

．
﹙Ⅰ﹚求ω的值及函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間；
﹙Ⅱ﹚當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：﹙Ⅰ﹚由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由題意可得周期T=π，可得ω=1，進(jìn)而可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得答案；﹙Ⅱ﹚由x的范圍結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）的最小值0

解答： 解：﹙Ⅰ﹚化簡(jiǎn)可得f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）
=

3

sinωxcosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

，
∴函數(shù)f（x）的周期T=

π

4

×4=π，∴ω=

2π

2T

=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴求ω的值為1，函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

6

，

2π

3

]；
﹙Ⅱ﹚當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）的最小值-

1

2

+

1

2

=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．