Question

15．已知S_n為正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}（n∈{N^*}）$．
（1）求出a₁，a₂，a₃，a₄，
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求；

解答 解：（1）由S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N₊）．
可得a₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₂²+$\frac{1}{2}$a₂，解得a₂=2，
同理a₃=3，a₄=4，
（2）由（1）猜想a_n=n．
證明：由S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1，②
①-②得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1，又a₁=1，
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差d=1的等差數(shù)列，故a_n=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．