【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)動(dòng)直線與橢圓C相交于點(diǎn)M,N,橢圓C的左右頂點(diǎn)為,直線與相交于點(diǎn),證明點(diǎn)在定直線上,并求出定直線的方程.
【答案】(1) (2)證明見(jiàn)解析,定直線方程為。
【解析】
(1)利用離心率公式,可知a,c的關(guān)系,利用,可知a,b的關(guān)系,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),代入橢圓方程,又得到一個(gè)方程,二個(gè)方程聯(lián)立,即可求出橢圓方程。
(2)由橢圓的性質(zhì)可以判斷點(diǎn)G在直線上,先考慮特殊情況,求出點(diǎn)G在上,再考慮一般情況,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,最后可以驗(yàn)證點(diǎn)G在上。
(1)離心率為,即,而所以 ①,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
所以②,由①②聯(lián)立方程組,解得,
所以橢圓的方程為
(2)由橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)G一定在上,假設(shè)直線過(guò)橢圓的上頂點(diǎn),則M,
,顯然直線 過(guò)定點(diǎn)(4,0)所以,橢圓方程與直線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為
兩方程聯(lián)立,解得交點(diǎn),所以G在定直線上。
當(dāng)M不是橢圓頂點(diǎn)時(shí),設(shè)
橢圓方程與直線聯(lián)立消去y,整理得
所以有
當(dāng)時(shí),把 代入整理得:
所以有顯然成立,
所以G在定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中, , , 是的中點(diǎn),以為折痕將向上折起, 變?yōu)?/span>,且平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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【題目】某公司準(zhǔn)備將萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇,若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)(萬(wàn)元)的概率分布列如表所示:
且的期望;若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān),在生產(chǎn)的過(guò)程中,公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為和.若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整的次數(shù)(次數(shù))與的關(guān)系如表所示:
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的分布列;
(Ⅲ)若該公司投資乙項(xiàng)目一年后能獲得較多的利潤(rùn),求的取值范圍.
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【題目】合肥一中、六中為了加強(qiáng)交流,增進(jìn)友誼,兩校準(zhǔn)備舉行一場(chǎng)足球賽,由合肥一中版畫社的同學(xué)設(shè)計(jì)一幅矩形宣傳畫,要求畫面面積為,畫面的上、下各留空白,左、右各留空白.
(1)如何設(shè)計(jì)畫面的高與寬的尺寸,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?
(2)設(shè)畫面的高與寬的比為,且,求為何值時(shí),宣傳畫所用紙張面積最小?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求的取值范圍.
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【題目】劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家,他編著的《海島算經(jīng)》中有一問(wèn)題:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問(wèn)島高幾何?” 意思是:為了測(cè)量海島高度,立了兩根表,高均為5步,前后相距1000步,令后表與前表在同一直線上,從前表退行123步,人恰觀測(cè)到島峰,從后表退行127步,也恰觀測(cè)到島峰,則島峰的高度為( )(注:3丈=5步,1里=300步)
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
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【題目】已知橢圓的離心率,一條準(zhǔn)線方程為過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P,P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q.
求橢圓的方程;
若直線AP,AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n,求證:mn為常數(shù),并求出此常數(shù).
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