【題目】已知橢圓的離心率,一條準(zhǔn)線方程為過橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P,P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q.
求橢圓的方程;
若直線AP,AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n,求證:mn為常數(shù),并求出此常數(shù).
【答案】(1);(2)為常數(shù)2.
【解析】
利用,,及其,解出即可得出;證法一:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為可得,直線AP的方程為令,解得同理可得再利用在橢圓上,即可得出mn;解法二:設(shè)直線AP的斜率為,則AP的方程為,令,得聯(lián)立,解得P,則可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)可得,可得直線AQ的方程,可得n,即可得出.
,,
解得,,
.
故橢圓的方程為.
證法一:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為
,
直線AP的方程為.
令,解得.
,
直線AQ的方程為.
令,解得.
.
又在橢圓上,
,即,
.
以mn為常數(shù),且常數(shù)為2.
解法二:設(shè)直線AP的斜率為,則AP的方程為,
令,得.
聯(lián)立
消去y,得,解得,,
,
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
故直線AQ的方程為.
令,得,
.
為常數(shù),常數(shù)為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)動直線與橢圓C相交于點(diǎn)M,N,橢圓C的左右頂點(diǎn)為,直線與相交于點(diǎn),證明點(diǎn)在定直線上,并求出定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 若函數(shù)有零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ) 證明:當(dāng)時(shí),
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【題目】(本小題滿分12分)已知在四棱錐中,底面是矩形,且,,平面,,分別是線段,的中點(diǎn).
(1)判斷并說明上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不
存在,請說明理由;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn).
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N試問:在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值,若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,過點(diǎn)P(1,0)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知頂點(diǎn)在極軸上,開口向右的拋物線C經(jīng)過極坐標(biāo)為(2, )的點(diǎn)Q.
(1)求C的極坐標(biāo)方程;
(2)若l與C交于A、B兩點(diǎn),且|PA|=2|PB|,求tan的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知直線l過原點(diǎn)且傾斜角為, ,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C 的極坐標(biāo)方程為psin =4cos.
(I)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C 的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知直線l過原點(diǎn)且與直線l相互垂直,若lC=-M,lC=N,其中M,N不與原點(diǎn)重合,求△OMN 面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高一女生共有450人,為了了解高一女生的身高情況,隨機(jī)抽取部分高一女生測量身高,所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如下:
組別 | 頻數(shù) | 頻率 |
145.5~149.5 | 8 | 0.16 |
149.5~153.5 | 6 | 0.12 |
153.5~157.5 | 14 | 0.28 |
157.5~161.5 | 10 | 0.20 |
161.5~165.5 | 8 | 0.16 |
165.5~169.5 | ||
合計(jì) |
(1)求出表中字母所對應(yīng)的數(shù)值;
(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖;
(3)估計(jì)該校高一女生身高在149.5~165.5范圍內(nèi)有多少人?
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