Question

12．（理科做）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠BAC=$\frac{π}{2}$，PA=AB=AC，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點(diǎn)，則異面直線AF與CE所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AF與CE所成的角的余弦值．

解答 解：∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=$\frac{π}{2}$，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=AC=2，
∵E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），E（1，0，1），
C（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CE}$=（1，-2，1），
設(shè)異面直線AF與CE所成的角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線AF與CE所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．