Question

2．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最長與最短的方程．

Answer 1

分析 （1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)；
（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．

解答 （1）證明：將直線化為直線束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．聯(lián)立方程x+y-4=0與2x+y-7=0，得點(diǎn)（3，1）；
將點(diǎn)（3，1）代入直線方程，不論m為何值時都滿足方程，所以直線l恒過定點(diǎn)（3，1）；
（2）解：當(dāng)直線l過圓心與定點(diǎn)（3，1）時，弦長最大，代入圓心坐標(biāo)得m=$\frac{1}{3}$．
當(dāng)直線l垂直于圓心與定點(diǎn)（3，1）所在直線時弦長最短，斜率為2，代入方程得m=$-\frac{3}{4}$
此時直線l方程為2x-y-5=0，圓心到直線的距離為$\sqrt{5}$，所以最短弦長為$4\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運(yùn)用，考查計算能力，屬于中檔題．