Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若對(duì)于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，試確定負(fù)實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x₀的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a大于0，a=0和a小于0三種情況考慮，當(dāng)a大于0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0，即函數(shù)為增函數(shù)，利用極限的思想得到函數(shù)恒大于0不成立；當(dāng)a=0時(shí)，得到函數(shù)恒大于0，滿足題意；當(dāng)a小于0時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出x的值，由x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的最小值，讓最小值大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意的a的取值范圍；
（2）把a(bǔ)=-1代入到（2）中求出的f（x）的最小值中，確定出f（x）的最小值，設(shè)h（x）=g（x）-f（x），把g（x）和f（x）的解析式代入確定出h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，假如存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等，令h（x）導(dǎo)函數(shù)等于f（x）的最小值，得到lnx+$\frac{1}{x}$-1=0，設(shè)φ（x）等于等式的右邊，求出φ（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出φ（x）的最小值為φ（1）等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解為f（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
①當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，e^x→0，ax→-∞，
∴f（x）→-∞，故f（x）＞0不恒成立，所以a＞0不合題意；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x＞0對(duì)x∈R恒成立，所以a=0符合題意；
③當(dāng)a＜0時(shí)令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），
當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上是單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）上是單調(diào)遞增，
所以[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）＞0，
解得a＞-e，又a＜0，∴a∈（-e，0），
綜上：a∈（-e，0]．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）知[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，則h′（x）=e^xlnx+e^x•$\frac{1}{x}$-e^x+1=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-1）+1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等，
x₀即為方程的解，
令h′（x）=1得：e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-1）=0，因?yàn)閑^x＞0，所以lnx+$\frac{1}{x}$-1=0．
令φ（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，則φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)φ′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)φ′（x）＞0，
所以φ（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-1）=0有唯一解為1，
所以存在符合條件的x₀，且僅有一個(gè)x₀=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，是一道中檔題．