Question

4．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C₁上一點(diǎn)，|PF|=4，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于3．
（1）求拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線C₁上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得線段AB的中點(diǎn)D在直線y=x上，P（0，2）為定點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出△PAB面積S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$•$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4a-{a}^{2}）^{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{[-（a-2）^{2}+4]^{3}}$，即可求出△PAB面積的最大值．

解答 解：（1）∵P為C₁上一點(diǎn)，|PF|=4，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于3，
∴4=3+$\frac{p}{2}$，
∴p=2，
∴拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂．y₂），D（a，a），則y₁+y₂=2a，x₁+x₂=2a，
A，B代入拋物線方程，作差整理可得k_AB=$\frac{2}{a}$，
∴AB的方程為y-a=$\frac{2}{a}$（x-a），即2x-ay-2a+a²=0，
∴P到直線AB的距離為d=$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$．
直線AB方程與y²=4x聯(lián)立可得y²-2ay-4a+2a²=0，
∴y₁+y₂=2a，y₁y₂=-4a+2a²，△＞0⇒0＜a＜4
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{4{a}^{2}+16a-8{a}^{2}}$=$\sqrt{16a-4{a}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$，
∴△PAB面積S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$•$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4a-{a}^{2}）^{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{[-（a-2）^{2}+4]^{3}}$，
∴a=2時(shí)，△PAB面積取得最大值，最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．