Question

【題目】直線y=x+a與拋物線y2=5ax（a＞0）相交于A，B兩點，C（0，2a），給出下列4個命題：
p1：△ABC的重心在定直線7x﹣3y=0上，p2：|AB| 的最大值為2 ；
p3：△ABC的重心在定直線 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值為2 ．
其中的真命題為（　�。�
A.p1 ， p2
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p3 ， p4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，

聯(lián)立 ，得x2﹣3ax+a2=0．

△=9a2﹣4a2=5a2＞0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=3a， ．

∴y1+y2=x1+x2+2a=5a，

∵C（0，2a），由重心坐標(biāo)公式可得：△ABC的重心坐標(biāo)為（ ， ）=（a， ）．

把點（a， ）代入7x﹣3y=0成立，代入 3x﹣7y=0不成立，

∴命題p1是真命題，p3是假命題；

|AB|= = ．

∴|AB| = ，

令g（a）=﹣a3+3a2（a＞0），則g′（a）=﹣3a2+6a=﹣3a（a﹣2），

當(dāng)a∈（0，2）時，g′（a）＞0，當(dāng)a∈（2，+∞）時，g′（a）＜0，

∴g（a）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，

則g（a）max=g（2）=4，

∴|AB| 的最大值為 ，

∴命題p2是真命題，p4是假命題．

∴真命題是p1，p2 ．

所以答案是：A．