Question

20．已知函數(shù)f（x）=|sinx|（x∈[-π，π]），g（x）為[-4，4]上的奇函數(shù)，且$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x（0＜x≤2）}\\{4x-12（2＜x≤4）}\end{array}}\right.$，設(shè)方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)分別為m、n、t，則m+n+t=（　�。�

• A． 9
• B． 13
• C． 17
• D． 21

Answer 1

分析 根據(jù)x∈[-π，π]時(shí)函數(shù)f（x）=|sinx|的值域?yàn)閇0，1]，
由函數(shù)g（x）的圖象與性質(zhì)得出其值域?yàn)閇-4，4]，
由方程f（x）=0的根得出方程f（f（x））=0根的個(gè)數(shù)m；
求出方程f（g（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)n；
由方程g（x）=0的實(shí)根情況得出方程g（g（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)t；
從而求出m+n+t的值．

解答 解：因x∈[-π，π]，所以函數(shù)f（x）=|sinx|的值域?yàn)閇0，1]，
函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，0＜x≤2}\\{4x-12，2＜x≤4}\end{array}\right.$的圖象如圖示，
由圖象知，其值域?yàn)閇-4，4]，
注意到方程f（x）=0的根為0，-π，π，
所以方程f（f（x））=0的根為方程f（x）=0或f（x）=-π，f（x）=π的根，
顯然方程f（x）=0有3個(gè)實(shí)根，
因-π，π∉[0，1]，所以f（x）=-π，與f（x）=π均無實(shí)根；
所以方程f（f（x））=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3，即m=3；
方程f（g（x））=0的實(shí)根為方程g（x）=0或g（x）=-π，g（x）=π的根，
方程g（x）=-π，g（x）=π各有3個(gè)根，同時(shí)方程g（x）=0也有3個(gè)根，
從而方程f（g（x））=0根的個(gè)數(shù)為9，即n=9；
方程g（x）=0有三個(gè)實(shí)根-3、0、3，
方程g（g（x））=0的實(shí)根為方程g（x）=-3或g（x）=0或g（x）=3的根，
方程g（x）=-3或g（x）=3各有3個(gè)根，同時(shí)方程g（x）=0也有3個(gè)根，
從而方程g（g（x））=0根的個(gè)數(shù)為9，即t=9；
綜上，m+n+t=3+9+9=21．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．