Question

20．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n≥1，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求證：對任意的自然數(shù)n∈N^*，不等式a₁•a₂…a_n＜2•n!成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值計算即可，
（Ⅱ）先利用分析法，要證明不等式成立，只需要證明等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立即可，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n≥1），
∴a₁=$\frac{1×3}{3-1}$=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{2×9}{9-1}$=$\frac{9}{4}$，a₃=$\frac{3×27}{27-1}$=$\frac{81}{26}$，
（Ⅱ）∵a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$=$\frac{n}{1-\frac{1}{{3}^{n}}}$，可得a₁•a₂…a_n=$\frac{n！}{（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）…（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}$，
因此欲證明不等式a₁•a₂…a_n＜2•n!成立，只需要證明對一切非零自然數(shù)n，不等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$恒成立即可，
顯然左端每個因式都為正數(shù)，且因1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=1-$\frac{1}{3}$（$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$）=1-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故只需要證明對非零自然數(shù)，不等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立即可，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式成立，
①顯然當(dāng)n=1時，不等式1-$\frac{1}{3}$≥1-$\frac{1}{3}$成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）成立，
那么當(dāng)n=k+1時，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$）≥[1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）]（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
即不等式右邊=1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$），
注意到$\frac{1}{{3}^{k+1}}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）＞0，
所以，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
這說明當(dāng)n=k+1時，不等式也成立，
由①②可知，不等式對一切非零自然數(shù)都成立，

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，分析法，階乘公式，數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生的邏輯推理能力和分析解決問題的能力，屬于難題